前兩天國(guó)內(nèi)的表姐在我們家的親戚群里發(fā)了張女兒數(shù)學(xué)作業(yè)的照片，19+23，她算成了82，表姐檢查作業(yè)時(shí)說(shuō)這道錯(cuò)了，女兒一臉茫然，“是不是哦，我再驗(yàn)算一下”。表姐有點(diǎn)不解，這不明擺著的嗎？19加23，十位的1和2加起來(lái)5都不到，怎么會(huì)是80多呢？說(shuō)是要重新算，但這個(gè)結(jié)果是對(duì)是錯(cuò)應(yīng)該一眼就能看出來(lái)啊。想想女兒平時(shí)做運(yùn)算練習(xí)也不少，但好像對(duì)數(shù)字的感覺還是不到位，這讓表姐很郁悶。

恰好最近我讀了不少有關(guān)孩子數(shù)學(xué)啟蒙的書籍，我很肯定的告訴表姐，這是因?yàn)槲抑杜摹皵?shù)感”沒有培養(yǎng)起來(lái)，她可能掌握了運(yùn)算規(guī)則，但對(duì)數(shù)字大小，數(shù)量多少缺乏感覺，所以不能對(duì)運(yùn)算結(jié)果有個(gè)大概估算。

那究竟什么是“數(shù)感”呢？

數(shù)感在英文里叫number sense, 就是對(duì)數(shù)字的感覺，指的是一個(gè)人對(duì)數(shù)字的理解和運(yùn)用能力，包括能否靈活處理數(shù)字、拆解問(wèn)題，并從不同的角度看問(wèn)題。比如桌子上有一個(gè)空盒，還有一堆糖，有些人看到會(huì)有意識(shí)地對(duì)兩者進(jìn)行比較，考慮如果把這堆糖裝在盒子里能不能裝下，能不能裝滿，這就是數(shù)感在起作用；再比如在計(jì)算18*5時(shí)，數(shù)感好的人并不是在腦海里用豎式計(jì)算，而是能迅速把它換成更利于自己計(jì)算的20*5 – 2*5，或者9*10，再或者9*5 + 9*5等方式，并能在腦海里對(duì)應(yīng)出它的實(shí)際意義，就像下圖的幾個(gè)矩形圖示一樣：

我們?cè)賮?lái)聽聽一位大牛怎么說(shuō)數(shù)感的：

Jo Boaler是斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)教授，出版過(guò)好幾本關(guān)于數(shù)學(xué)教育的書，其中《教室里的大象》被許多數(shù)學(xué)老師奉為經(jīng)典，她開創(chuàng)和領(lǐng)導(dǎo)的數(shù)學(xué)教育網(wǎng)站Youcubed，為全世界教師和父母提供了很多數(shù)學(xué)啟蒙資源。

回憶起自己的成長(zhǎng)經(jīng)歷，Jo Boaler說(shuō)在她小時(shí)候，學(xué)校沒有要求孩子們記憶多少以內(nèi)的加減法得數(shù)，甚至也不要求乘法口訣，但這一點(diǎn)兒都沒有妨礙她后來(lái)在數(shù)學(xué)上的發(fā)展，還成為大學(xué)數(shù)學(xué)教授，她說(shuō)，“看到8+4，我能一口給出答案，那是因?yàn)槲矣泻芎玫臄?shù)感。而這種感覺是通過(guò)在各種情況下使用、理解數(shù)字而得到的，而不是通過(guò)強(qiáng)化練習(xí)和考試才記住的?！?/p>

Jo Boaler的研究團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)，但凡后來(lái)在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)優(yōu)異的孩子，他們小時(shí)候的數(shù)感都培養(yǎng)得很好，而相反從小就訓(xùn)練死記硬背答案或者運(yùn)算規(guī)律的孩子，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)越來(lái)越吃力，基本上就是低年級(jí)數(shù)感不啟蒙，高年級(jí)數(shù)學(xué)看造化的節(jié)奏。

數(shù)感如此重要，該怎樣培養(yǎng)呢？

不僅Jo Boaler教授團(tuán)隊(duì)持這樣的觀點(diǎn)，數(shù)感培養(yǎng)在整個(gè)西方的低幼教育中都很重視，比如大家熟悉的“蒙氏教育”，就是以其出色的數(shù)感培養(yǎng)而著名。每個(gè)教育派系、每個(gè)學(xué)校、甚至每位老師、家長(zhǎng)，都會(huì)在有意無(wú)意中用到很多培養(yǎng)孩子數(shù)感的方法，總結(jié)起來(lái)最重要的主要是這4個(gè)維度：

理解“數(shù)”——

維度1：用具體的實(shí)物認(rèn)識(shí)數(shù)字（Real things）

維度2：用圖形、圖畫理解數(shù)字（Picture）

運(yùn)用“數(shù)”——

維度3：用故事說(shuō)數(shù)字（Story）

維度4：用符號(hào)/表達(dá)式讓數(shù)字動(dòng)起來(lái)（Symbols）

這4個(gè)維度的培養(yǎng)，是根據(jù)孩子的年齡增長(zhǎng)循序漸進(jìn)的。最早從0歲就可以開始，大多數(shù)孩子在0到3歲這個(gè)階段，很大程度依賴觸覺來(lái)認(rèn)識(shí)這個(gè)世界，必須要摸到實(shí)物，能感覺它的大小，重量。這時(shí)就可以用具體的實(shí)物讓孩子來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)，積木、小球、數(shù)字餅干、手指腳趾......都可以。比如在蒙氏幼兒園的教室里就有很多為培養(yǎng)數(shù)感而設(shè)計(jì)的教具，像下面這些串珠，有多的也有少的，孩子拿在手上能摸到它們的長(zhǎng)度不同，也能感覺到輕重的差異。

對(duì)于一些理解力比較強(qiáng)的孩子，到了3歲左右甚至可以教他把實(shí)物和數(shù)字對(duì)應(yīng)起來(lái)。當(dāng)然，用游戲的方式就更好了，擲篩子，擲到多少點(diǎn)，就在對(duì)應(yīng)的數(shù)字上搭多少塊積木。

而到了3-6歲，視覺在孩子認(rèn)識(shí)世界的過(guò)程中占了上風(fēng)，這時(shí)就可以用圖形、圖畫來(lái)幫助孩子理解數(shù)字了，比如用小圓點(diǎn)，用篩子圖，手指圖，方塊圖等等。如果孩子能理解，還可以和時(shí)鐘的認(rèn)識(shí)結(jié)合在一起。到了5歲之后，甚至可以開始簡(jiǎn)單的數(shù)字拆解，同時(shí)可以伴隨著用故事表達(dá)數(shù)字，把數(shù)字和生活結(jié)合在一起，6的含義可以是媽媽買了6個(gè)蘋果，孩子有6條裙子，魚缸里有六條魚……等等。

在這些都理解了之后，就可以再上一個(gè)臺(tái)階，用符號(hào)/表達(dá)式讓數(shù)字動(dòng)起來(lái)，就是我們經(jīng)常看到的數(shù)學(xué)算式，比如“3+3=6”。雖然它看起來(lái)全是符號(hào)，很抽象，但它卻是我們用來(lái)交流的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是必須要學(xué)會(huì)的。而孩子需要練習(xí)的是，怎么把它和其他的感觀聯(lián)系在一起，這就引出我今天最想給大家分享的一個(gè)工具——

用一個(gè)“思考版“，搞定數(shù)感的4個(gè)維度

Think board (思考板) 是美國(guó)課堂常用的培養(yǎng)孩子數(shù)感的工具。它把一個(gè)矩形分成四個(gè)部分，分別對(duì)應(yīng)我們上面介紹的4個(gè)維度：實(shí)物、故事、圖形、符號(hào)。老師會(huì)讓孩子用思考板來(lái)理解數(shù)字、運(yùn)用數(shù)字。

來(lái)看看具體的應(yīng)用，下面是用思考板來(lái)分析“16”這個(gè)數(shù)字，其中的story（故事）這部分就是為這個(gè)數(shù)字編一個(gè)應(yīng)用題，這位孩子是這么編的，“寵物店里有27條魚，這時(shí)來(lái)了11位小朋友，帶走了11條，問(wèn)寵物店里還剩幾條？答案是16?！?/p>

這個(gè)編故事的能力非常重要，Jo Boaler教授強(qiáng)調(diào)，老師給學(xué)生出數(shù)學(xué)題要具有開放性，給學(xué)生思考的空間，“在我眼中，那些形成固化思維的封閉性問(wèn)題就是只要求正確答案的題目。長(zhǎng)此以往，孩子就會(huì)覺得上數(shù)學(xué)課是一種表演，就是答對(duì)問(wèn)題。而我們真正想要的是那些能讓孩子學(xué)到東西的題目?！?比如27-11=？是個(gè)封閉性問(wèn)題，但用什么樣的故事能表達(dá)16，就是個(gè)開放性的問(wèn)題了，它的答案可以是無(wú)窮多種。

這是用思考板來(lái)表示乘法運(yùn)算式，其中的符號(hào)部分改成“Show Strategies Used“（用了什么運(yùn)算策略），就是鼓勵(lì)孩子從不同的角度去拆解數(shù)字。

即使學(xué)到了分?jǐn)?shù)，思考板還是大有用場(chǎng)哦。

思考板所包含的幾個(gè)維度并不新鮮，但它的好處是，提醒孩子從這幾個(gè)方面去考慮數(shù)字以及運(yùn)算式，它是個(gè)整體，不會(huì)拉下哪個(gè)；同時(shí)也能清楚地看到它們之間的聯(lián)系，這就對(duì)應(yīng)著數(shù)感培養(yǎng)最重要的目的——“能靈活處理數(shù)字、拆解問(wèn)題，并從不同的角度看問(wèn)題”。

挺好用的一個(gè)工具，特別推薦給家有正在數(shù)學(xué)啟蒙的孩子們。數(shù)學(xué)要學(xué)很多年，它的應(yīng)用更是伴隨著我們一生，一開始走慢些，穩(wěn)些，理解深刻些，找到感覺，很重要。

學(xué)數(shù)學(xué)要有感覺，首先對(duì)數(shù)字就要有感覺！